PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL : PD HOMOGEN

f(x, y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx, ky) = kn f(x, y) dengan k adalah konstanta. Contoh : 1. f(x, y) = x + 3y f(kx, ky) = kx + 3ky = k(x + 3y), fungsi homogen pangkat 1 2. f(x, y) = ey/x + tan (y/x) f(kx, ky) = eky/kx + tan (ky/kx) = k0 (ey/x + tan (y/x)), fungsi homogen pangkat 0 3. f(x, y) = x2 + 2xy + y2 f(kx, ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2 = k2 (x2 + 2xy + y2), , fungsi homogen pangkat n 4. F(x, y) = 5x – 7y + 13 bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(5x – 7y + 13) 5. F(x,y) = 4x3 + 3y3 – 6xy, bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(4x3 + 3y3 – 6xy) 6. F(x,y) = x2 + 5y – 6x2y, bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) kn(x2 + 5y – 6x2y) Bentuk umum PD Homogen adalah M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Jika M(x, y) dan N(x, y) maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0 atau M(x/y) dx + N(x/y) dy = 0. Jika PD sudah diubah menjadi M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0, maka untuk menentukan solusi PD tersebut, ambil u = y = ux dy = u dx + x du M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0 (M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0 dx + du = 0 Sehingga solusinya : dx + du = C, dengan u = Contoh : Tentukan penyelesaian dari PD berikut 1. (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0 Penyelesaian : Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen ambil M(x, y) = x2 – xy + y2 M(kx, ky) = (kx)2 – kx ky + (ky)2 = k2(x2 – xy + y2) N(x, y) = xy N(kx, ky) = kx ky = k2(xy) (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0 adalah PD homogen (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0, bagi dengan x2, diperoleh (1 – + ) dx – dy = 0 … (i) misal : y = ux dy = u dx + x du substitusi ke pers (i) (1 – u + u2) dx – u (u dx + x du) = 0 dx – u dx + u2 dx – u2 dx – ux du = 0 (1 – u) dx – ux du = 0 [bagi dengan x(1 – u)] dx – du = 0 dx – du = c1 ln x – du = c1 ln x – du – du = c1 ln x + u + ln (1 – u) = ln C, dengan ln C = c1 substitusi kembali u = , sehingga ln x + + ln (1 – ) = ln C 2. (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0 Penyelesaian : Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen ambil M(x, y) = 1 + 2ex/y M(kx, ky) = 1 + 2ekx/ky = k0(1 + 2ex/y) N(x, y) = 2ex/y(1 – x/y) N(kx, ky) = 2ekx/ky(1 – kx/ky) = k0(2ex/y(1 – x/y)) (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0 adalah PD homogen … (i) misal : x = uy dx = u dy + y du substitusi ke pers (i), sehingga (1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 – u) dy = 0 u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy – u 2eu dy = 0 u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0 (u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)] dy + du = 0 dy + du = c1 ln y + = c1 ln y + ln (u + 2eu) = ln C, dengan ln C = c1 substitusi kembali u = , sehingga ln y + ln (x/y + 2ex/y) = ln C ln (y(x/y + 2ex/y)) = ln C x + 2yex/y = C 3. 2xyy’ – y2 + x2 = 0 Penyelesaian : Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen 2xy – y2 + x2 = 0 2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 ambil M(x, y) = 2xy M(kx, ky) = 2 kx ky = k2(2xy) N(x, y) = x2 – y2 N(kx, ky) = (kx)2 – (ky)2 = k2(x2 – y2) 2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 adalah PD homogen 2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 [bagi x2] dy + (1 – ) dx = 0 … (i) ambil y = ux dy = x du + u dx substitusi ke pers (i), diperoleh 2u(x du + u dx) + (1 – u2) dx = 0 2ux du + 2u2 dx + dx – u2 dx = 0 2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)] 2 du+ dx = 0 2 du+ dx = c1 2 + dx = c1 ln (u2 + 1) + ln x = ln C, dengan ln C = c1 ln (u2 + 1) = -ln x + ln C ln (u2 + 1) = ln u2 + 1 = substitusi kembali u = , diperoleh + 1 = y2 + x2 = Cx y2 + x2 – 2 x + – = 0 (y – 0)2 + (x – )2 =